Potencial eléctrico entrenamiento para el 2do. Parcial

Banco visual de problemas

Las imágenes están organizadas por problema y el sistema queda abierto para agregar nuevos ejercicios, diagramas, capturas de libro o esquemas elaborados por el profesor.

**Problema 78**
Diagrama del problema 78: anillo cargado uniformemente y punto sobre su eje

**Problema 79**
Diagrama del problema 79: disco cargado uniformemente y punto sobre su eje

1. Problema 78

Un anillo de radio R está cargado con una densidad lineal uniforme λ. Se desea determinar, en un punto P ubicado sobre su eje a una distancia x del centro del anillo, el potencial eléctrico y el campo eléctrico.

Planteamiento físico

Paso 1. Todo elemento diferencial de carga dq contenido en el anillo está a la misma distancia del punto P.

r = √(R² + x²)

Paso 2. Como la distancia es la misma para todos los elementos de carga, el potencial se simplifica de forma importante, porque la magnitud r puede salir de la integral.

Desarrollo del potencial eléctrico

dV = k₀ dq / r

V(P) = k₀ ∫ dq / r

V(P) = (k₀ / r) ∫ dq

V(P) = k₀ Q / r

V(P) = k₀ Q / √(R² + x²)

Paso 3. La carga total del anillo se obtiene a partir de la densidad lineal de carga. Como la longitud total del anillo es su circunferencia, se tiene:

Q = λ (2πR)

V(P) = k₀ [λ (2πR)] / √(R² + x²)

V(P) = 2π k₀ λ R / √(R² + x²)

                                Resultado del potencial para el problema 78:

                                V(P) = 2π k₀ λ R / √(R² + x²)

Desarrollo del campo eléctrico

El campo eléctrico axial puede obtenerse derivando el potencial respecto de la coordenada axial x.

Eₓ = - dV/dx

V(x) = 2π k₀ λ R (R² + x²)^(-1/2)

dV/dx = 2π k₀ λ R (-1/2)(R² + x²)^(-3/2)(2x)

dV/dx = - 2π k₀ λ R x / (R² + x²)^(3/2)

Eₓ = - dV/dx = 2π k₀ λ R x / (R² + x²)^(3/2)

                                Resultado del campo para el problema 78:

                                E(P) = [2π k₀ λ R x / (R² + x²)^(3/2)] î

Interpretación técnica

En el centro del anillo, cuando x = 0, el campo es cero por simetría.
El potencial no es cero en el centro; la cancelación vectorial del campo no implica cancelación del potencial.
A grandes distancias, el anillo se comporta aproximadamente como una carga puntual total Q = 2πRλ.

Problema 78. Geometría del anillo cargado uniformemente y punto sobre el eje.

2. Problema 79

Un disco plano de radio R está cargado uniformemente con densidad superficial σ. Se requiere determinar el potencial y el campo eléctrico sobre el eje del disco, a una distancia x del centro.

Idea central de solución

Paso 1. El disco completo se descompone en anillos diferenciales concéntricos de radio variable y y espesor dy.

Paso 2. Cada anillo diferencial aporta un potencial diferencial dV en el punto axial P.

Área y carga diferencial del anillo

dA = 2πy dy

dq = σ dA = 2πσ y dy

Paso 3. La distancia del anillo diferencial al punto P es:

r = √(x² + y²)

Desarrollo del potencial eléctrico

dV = k₀ dq / r

dV = k₀ (2πσ y dy) / √(x² + y²)

V(P) = 2πk₀σ ∫[0→R] y dy / √(x² + y²)

Paso 4. Resolver la integral usando el cambio de variable:

u = x² + y²

du = 2y dy

y dy = du / 2

∫ y dy / √(x² + y²) = (1/2) ∫ u^(-1/2) du = √u

∫[0→R] y dy / √(x² + y²) = √(x² + R²) - x

V(P) = 2πk₀σ [√(x² + R²) - x]

                                Resultado del potencial para el problema 79:

                                V(P) = 2πk₀σ [√(x² + R²) - x]

Desarrollo del campo eléctrico

Eₓ = - dV/dx

V(x) = 2πk₀σ [√(x² + R²) - x]

dV/dx = 2πk₀σ [x/√(x² + R²) - 1]

Eₓ = 2πk₀σ [1 - x/√(x² + R²)]

                                Resultado del campo para el problema 79:

                                E(P) = 2πk₀σ [1 - x/√(x² + R²)] î

Interpretación técnica

En x = 0, el campo sobre el eje vale σ / 2ε₀.
El disco puede entenderse como la superposición de infinitos anillos diferenciales.
Si x es muy grande respecto a R, el disco se aproxima al comportamiento de una carga puntual total Q = σπR².

Problema 79. Geometría del disco cargado uniformemente y punto sobre el eje.

3. Ejemplo de la vida real a nivel ingeniería

Los problemas 78 y 79 no solo son ejercicios matemáticos. Representan configuraciones de carga que ayudan a modelar sistemas reales donde interesa estimar potencial, distribución de campo y comportamiento de diseño.

Problema	Interpretación de ingeniería	Aplicación real	Qué se analiza
Problema 78 Anillo cargado	Geometría axial con simetría circular	Electrodos anulares, sensores circulares, regiones de carga en equipos de medición o arreglos electrostáticos	Cómo varía el potencial y el campo sobre el eje, útil para diseño de sensibilidad, confinamiento y análisis de interacción eléctrica
Problema 79 Disco cargado	Superficie finita cargada	Placas circulares, discos conductores, capacitores con geometrías finitas, zonas activas de sensores	Estimación del campo en la dirección normal al disco, relevante para separación de cargas, respuesta de sensores y validación de aproximación de placa infinita

                        Ejemplo integrado de nivel ingeniería:

                        En diseño de sensores capacitivos o en elementos de laboratorio para medición de respuesta eléctrica, es común utilizar geometrías circulares. El problema 78 permite comprender la contribución axial de un arreglo anular, mientras que el problema 79 aproxima la respuesta de una superficie circular activa. Ambos modelos ayudan a decidir dimensiones, distancias de operación, intensidad de campo y sensibilidad del dispositivo.

4. Ejercicios tipo examen

Selecciona la respuesta correcta. El sistema registra nombre, correo, grupo y resultado en archivo CSV.

Nombre completo

Correo electrónico

Grupo

Comentarios del alumno

Ejercicio 1. Tipo problema 78

Un anillo de radio R tiene carga total Q uniformemente distribuida. ¿Cuál es la expresión del potencial eléctrico en un punto del eje a distancia x del centro?

a) V = k₀Q / (R² + x²) b) V = k₀Q / √(R² + x²) c) V = k₀Qx / (R² + x²)

Ejercicio 2. Tipo problema 79

Para obtener el potencial sobre el eje de un disco uniformemente cargado de radio R y densidad superficial σ, el procedimiento correcto es:

a) Tratar el disco como una carga puntual en el centro b) Integrar directamente usando una línea radial como si toda la carga estuviera sobre un diámetro c) Descomponer el disco en anillos diferenciales y sumar sus aportes de potencial

5. Glosario técnico

Potencial eléctrico

Trabajo por unidad de carga necesario para llevar una carga de prueba desde el infinito hasta un punto del espacio.

Campo eléctrico

Magnitud vectorial que representa la fuerza por unidad de carga que experimentaría una carga de prueba positiva.

Densidad lineal de carga (λ)

Carga distribuida por unidad de longitud. Se usa en configuraciones como hilos o anillos cargados.

Densidad superficial de carga (σ)

Carga distribuida por unidad de área. Se usa en placas, discos y superficies conductoras o idealizadas.

Elemento diferencial de carga (dq)

Porción infinitesimal de carga utilizada para construir la integral de una distribución continua.

Simetría axial

Propiedad geométrica que permite simplificar el análisis porque las contribuciones laterales se cancelan y solo permanece la componente sobre el eje.

Superposición

Principio según el cual el potencial o campo total es la suma de las contribuciones generadas por cada elemento de carga.

Constante k₀

Constante electrostática definida como 1/(4π ε₀), empleada en la ley de Coulomb y en expresiones de potencial.

6. Estructura abierta para agregar más problemas

ID	Título	Descripción
p78	Problema 78	Anillo de radio R con densidad lineal uniforme λ. Determinar potencial y campo sobre su eje.
p79	Problema 79	Disco plano de radio R con densidad superficial uniforme σ. Determinar potencial y campo sobre su eje.