Teoría de Circuitos II – Parte 2

CEACEX / IPN ESIME Zacatenco – Prof. M. en C. Iván García García

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Unidad 2. Análisis de circuitos en CA

2.6 Transformación de fuentes (Thevenin–Norton)

En esta parte del curso quiero que quede claro que muchas veces conviene cambiar la forma de la fuente sin alterar el efecto que produce sobre el resto del circuito. A eso le llamamos transformación de fuentes.

¿Qué es la transformación de fuentes?

Es una técnica que permite convertir una fuente de voltaje con una resistencia en serie en una fuente de corriente con una resistencia en paralelo, y viceversa, sin cambiar el comportamiento eléctrico visto desde los terminales.

\[ \text{Fuente de voltaje } V_s \text{ en serie con } R_s \;\;\Longleftrightarrow\;\; \text{Fuente de corriente } I_N \text{ en paralelo con } R_N \]

Las relaciones de equivalencia son:

\[ I_N = \frac{V_s}{R_s}, \qquad V_s = I_N\,R_N, \qquad R_s = R_N \]

Es decir, la resistencia es la misma; solo cambiamos la forma en la que representamos la fuente.

Las dos formas equivalentes

En diseño práctico, una misma fuente real puede modelarse como Thevenin o como Norton según nos convenga analizar voltajes o corrientes.

Diagrama conceptual

En la siguiente figura se muestra la equivalencia Thevenin–Norton que usaremos durante el curso:

Equivalente de fuentes Thevenin y Norton

¿Para qué sirve en la práctica?

En resumen, Transformar fuentes es cambiar la forma del circuito sin cambiar lo que “ve” la carga.

Ejercicio 1. Transformación de fuentes + carga

Datos:

  • Fuente de voltaje: \(V_s = 30\angle(-25^\circ)\; \text{V}\).
  • Impedancia interna: \(Z_s = 6 + j8\; \Omega\).
  • Carga: \(Z_L = 10 - j5\; \Omega\).

1. Obtener el equivalente de Norton.

\[ |Z_s|=\sqrt{6^2+8^2}=10\;\Omega, \qquad \angle Z_s = \tan^{-1}\left(\frac{8}{6}\right)\approx 53.1^\circ \] \[ I_N = \frac{V_s}{Z_s} = \frac{30\angle(-25^\circ)}{10\angle 53.1^\circ} = 3\angle(-78.1^\circ)\ \text{A}, \qquad R_N = Z_s = 6 + j8\; \Omega \]

2. Corriente en la carga. Resulta más directo usar el modelo de voltaje (Thevenin), pero debe coincidir con Norton.

\[ Z_{\text{tot}} = Z_s + Z_L = (6+10) + j(8-5) = 16 + j3\; \Omega \] \[ |Z_{\text{tot}}| = \sqrt{16^2+3^2} \approx 16.3\; \Omega,\quad \angle Z_{\text{tot}} \approx 10.6^\circ \] \[ I_L = \frac{V_s}{Z_{\text{tot}}} = \frac{30\angle(-25^\circ)}{16.3\angle 10.6^\circ} \approx 1.84\angle(-35.6^\circ)\ \text{A} \]

Esta es la corriente que circula por la carga. Si el alumno lo resuelve por Norton (división de corriente entre \(Z_N\) y \(Z_L\)), deberá obtener el mismo resultado, comprobando la equivalencia de fuentes.

Conclusión corta de la Unidad 2 (Transformación de fuentes)

¿Qué es? Un cambio de modelo (voltaje ↔ corriente) que mantiene la misma respuesta en la carga.

¿Para qué sirve? Para simplificar el análisis, adaptar impedancias y modelar fuentes reales.

¿Dónde se usa? En fuentes de alimentación, audio, instrumentación, telecomunicaciones y cualquier diseño donde la carga pueda cambiar.

Por lo tanto: si tengo muchas ramas en paralelo es natural pensar en Norton; si tengo muchas impedancias en serie, pienso en Thevenin. El objetivo es siempre el mismo: hacer que el problema sea más simple de resolver.

Unidad 3. Técnicas de análisis de circuitos CA

Aquí formalizamos lo que ya intuitivamente hemos usado con las leyes de Kirchhoff. Las técnicas de nodos y mallas son herramientas sistemáticas para resolver circuitos complejos, especialmente en AC con impedancias.

3.1 Método de nodos

Consiste en elegir un nodo de referencia (tierra) y escribir ecuaciones de corriente (KCL) en los nodos restantes, usando admitancias en vez de resistencias cuando trabajamos en AC.

3.1.1 Supernodo

Aparece cuando entre dos nodos hay una fuente de voltaje ideal. En lugar de escribir KCL para cada nodo por separado, se agrupa en un solo supernodo y se usa además la ecuación de la fuente de voltaje.

3.2 Método de mallas

Trabaja con ecuaciones de voltaje (KVL) en las mallas básicas o lazos independientes de un circuito plano.

3.2.1 Supermalla

Se presenta cuando entre dos mallas hay una fuente de corriente. Se rodean ambas mallas como una sola supermalla y se complementa con la ecuación de la fuente de corriente para relacionar las corrientes de malla.

Ejemplo aplicado: análisis nodal en AC (problema 2)

Tomamos el circuito de laboratorio con dos nodos principales A y B, una fuente de corriente en AC y elementos \(R\), \(L\), \(C\) e impedancia compleja a tierra:

Circuito AC para análisis nodal

Datos de operación: frecuencia \(f = 60\ \text{Hz}\).

  • Resistencia a tierra en A: \(R = 20\ \Omega\).
  • Inductor a tierra en A: \(X_L = j50\ \Omega\).
  • Capacitor entre A y B: \(C = 150\,\mu\text{F}\) \(\Rightarrow Z_C = -j17.7\ \Omega\).
  • Impedancia en B: \(Z_3 = 10 - j20\ \Omega\).
  • Fuente de corriente: \(I_s = 5\angle 30^\circ\ \text{A}\) hacia el nodo A.

Paso 1. Admitancias

\[ Y_R = \frac{1}{20} = 0.05\ \text{S},\qquad Y_L = \frac{1}{j50} = -j0.02\ \text{S} \] \[ Z_C = -j17.7\ \Omega \quad\Rightarrow\quad Y_C = \frac{1}{Z_C} = j0.0565\ \text{S} \] \[ Z_3 = 10 - j20 \quad\Rightarrow\quad Y_3 = \frac{1}{10 - j20} = 0.02 + j0.04\ \text{S} \]

Paso 2. Ecuaciones nodales

Nodo A (corrientes que salen):

\[ 0.05V_A - j0.02V_A + j0.0565(V_A - V_B) = 5\angle 30^\circ \] \[ (0.05 + j0.0365)V_A - j0.0565V_B = 5\angle 30^\circ \tag{1} \]

Nodo B (solo corrientes que salen, sin fuente):

\[ j0.0565(V_B - V_A) + (0.02 + j0.04)V_B = 0 \] \[ -j0.0565V_A + (0.02 + j0.0965)V_B = 0 \tag{2} \]

Paso 3. Resolución del sistema

Resolviendo (por determinantes o matriz compleja) obtenemos:

\[ V_A \approx 88\angle 25^\circ\ \text{V}, \qquad V_B \approx 50\angle 37^\circ\ \text{V} \]

Paso 4. Corriente por el capacitor

\[ I_C = Y_C(V_A - V_B) = j0.0565(V_A - V_B) \approx 2.26\angle 100^\circ\ \text{A} \]

Si se verifica KCL en el nodo A: \(I_R + I_L + I_C = I_s\), se comprueba que la suma fasorial es consistente con la fuente de 5 A.

¿Por qué usamos nodos y mallas?

  • Porque dan un procedimiento sistemático cuando el circuito empieza a ser grande y ya no es práctico “improvisar” ecuaciones.
  • En AC, trabajar con admitancias y nodos simplifica el manejo de elementos en paralelo.
  • Mallas es más natural cuando predominan lazos en serie.

Nota: muchos problemas de ingeniería se puede avanzar más rápido usando modelos equivalentes (Thevenin/Norton) y directamente las leyes de Kirchhoff, sin escribir todo el sistema nodal o de mallas. Sin embargo, conocer bien estos métodos es fundamental porque: te enseñan a pensar el circuito de forma estructurada y son la base de lo que luego hace el software de simulación.

Unidad 4. Teoremas adicionales

Estos teoremas son “atajos inteligentes” que complementan lo que ya sabes de Kirchhoff, nodos y mallas. La clave es entender: qué es cada uno, para qué sirve, dónde se usa y cómo elegir el adecuado.

4.1 Teorema de Kennelly (Transformación Δ–Y)

¿Qué es?

Es el conjunto de fórmulas que permiten transformar una red trifásica o resistiva de conexión delta (Δ) a estrella (Y) y viceversa, manteniendo el mismo comportamiento visto desde los terminales.

Fórmulas básicas Δ → Y (red balanceada):

\[ R_Y = \frac{R_\Delta}{3} \]

¿Para qué sirve? Para simplificar análisis de redes trifásicas y resistivas donde combinamos conexiones Δ e Y.

¿Dónde se usa? En estudio de cargas trifásicas, transformadores, líneas de transmisión y bancos de resistencias.

Recuerda que: “Y es más delgada que Δ, por eso sus resistencias son menores (se divide entre 3 en el caso balanceado)”.

4.2 Teorema de Millman

¿Qué es?

Es una fórmula directa para calcular el voltaje de un nodo al que llegan varias fuentes de voltaje en paralelo, cada una con su resistencia o impedancia en serie.

Expresión general:

\[ V_{\text{nodo}} = \frac{\displaystyle\sum_{k} \frac{V_k}{Z_k}} {\displaystyle\sum_{k} \frac{1}{Z_k}} \]

¿Para qué sirve? Para evitar escribir muchas ecuaciones nodales cuando tenemos varias ramas en paralelo que alimentan un único nodo.

¿Dónde se usa? En redes de medición, buses de DC, análisis rápido de nodos de distribución y cargas en paralelo.

Recuerda que: “Millman es el promedio ponderado de los voltajes, ponderado por la conductancia (admitancia) de cada rama”.

4.3 Teorema de superposición

¿Qué es?

En un circuito lineal con varias fuentes, la respuesta total (voltaje o corriente) es la suma de las respuestas producidas por cada fuente actuando por separado, con las demás apagadas.

Regla práctica:

  • Fuentes de voltaje independientes → se apagan sustituyéndolas por un cortocircuito.
  • Fuentes de corriente independientes → se apagan sustituyéndolas por un circuito abierto.

¿Para qué sirve? Para entender contribuciones de cada fuente, analizar circuitos con varias excitaciones y validar resultados de simulación.

¿Dónde se usa? Amplificadores, redes de potencia, sistemas de control lineales, análisis de ruido.

Recuerda que: “Uno por uno y luego sumo”: activo una fuente, calculo; apago, paso a la siguiente; al final sumo todo.

4.4 Teorema de Thévenin

¿Qué es?

Cualquier red lineal vista desde dos terminales puede sustituirse por una fuente de voltaje \(V_{Th}\) en serie con una impedancia \(Z_{Th}\).

¿Para qué sirve?

  • Analizar fácilmente el efecto de distintas cargas.
  • Estudiar máxima transferencia de potencia.
  • Simplificar etapas de un sistema complejo.

Recuerda que: “Thévenin → Tensión (voltaje) + serie”.

4.5 Teorema de Norton

¿Qué es?

La misma red lineal se puede representar como una fuente de corriente \(I_N\) en paralelo con una impedancia \(Z_N\) (igual a \(Z_{Th}\)).

¿Para qué sirve? Lo mismo que Thévenin, pero más cómodo cuando hay muchas ramas en paralelo o nos interesan corrientes.

Recuerda que: “Norton → Nivel de corriente + paralelo”.

4.6 Máxima transferencia de potencia

¿Qué es?

Establece la condición para que la carga reciba la máxima potencia posible de una fuente con resistencia o impedancia interna.

Condición en AC compleja:

\[ Z_L = Z_{Th}^* \quad\Rightarrow\quad R_L = R_{Th},\quad X_L = -X_{Th} \]

¿Para qué sirve? Diseño de amplificadores, antenas, redes de audio, adaptación de líneas, etc.

Recuerda que: “Para sacar la máxima potencia, la carga se ‘espejea’ con el Thévenin: misma parte real, parte imaginaria conjugada”.

Conclusión general de los teoremas

Todos estos teoremas tienen un mismo fin: simplificar el problema y concentrarse en la parte del circuito que realmente interesa (carga, nodo, malla, etapa). El criterio práctico es: