I. Conceptos y cálculo en máquinas trifásicas
En este bloque se revisan cuatro dispositivos clave en circuitos polifásicos: motores de inducción, servomotores, generadores trifásicos y variadores de velocidad. Además, se incluye un ejercicio de cálculo (derivadas, integrales o transformada de Laplace) asociado a cada máquina.
1. Motores de inducción (trifásicos)
El motor de inducción trifásico es una máquina en la cual el campo magnético giratorio del estator induce corrientes en el rotor, generando torque sin contacto eléctrico directo entre estator y rotor.
Fórmulas típicas
Velocidad sincrónica: \[ n_s = \frac{120 f}{P} \quad [\text{rpm}] \] Resbalamiento: \[ s = \frac{n_s - n}{n_s} \] Par electromagnético (modelo simplificado en función de \(s\)): \[ T(s) = K\,\frac{s}{R_2'^2 + (s X_2')^2} \]
Supón que el par de un motor de inducción puede aproximarse por: \[ T(s) = K\,\frac{s}{a + b s^2} \] con \(a = R_2'^2\), \(b = X_2'^2\), \(K>0\). Encuentra el resbalamiento \(s\) que maximiza el par.
Derivamos \(T(s)\) respecto a \(s\): \[ T(s) = K \frac{s}{a + b s^2} \] \[ \frac{dT}{ds} = K \frac{(a + b s^2) - s(2 b s)}{(a + b s^2)^2} = K \frac{a - b s^2}{(a + b s^2)^2} \] Para máximo: \[ \frac{dT}{ds} = 0 \quad \Rightarrow \quad a - b s^2 = 0 \] \[ s^2 = \frac{a}{b} \quad \Rightarrow \quad s = \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{R_2'}{X_2'} \]
Conclusión: el par máximo ocurre aproximadamente en \(\displaystyle s_{\text{max}} \approx \frac{R_2'}{X_2'}\).
2. Servomotores
Un servomotor es un motor diseñado para posicionamiento preciso, velocidad controlada y alta respuesta dinámica. Habitualmente incorpora un sensor de posición (encoder) y se maneja mediante un controlador electrónico.
Modelo mecánico–eléctrico simplificado
Ecuación mecánica: \[ J \frac{d^2\theta}{dt^2} + b \frac{d\theta}{dt} = K_t\, i(t) \] Ecuación eléctrica (despreciando inductancia): \[ R i(t) + K_e \frac{d\theta}{dt} = u(t) \]
Obtén la función de transferencia \(\Theta(s)/U(s)\) del servomotor anterior, despreciando la inductancia del motor.
De la ecuación eléctrica: \[ R i(t) + K_e \dot{\theta}(t) = u(t) \quad \Rightarrow \quad i(t) = \frac{u(t) - K_e \dot{\theta}(t)}{R} \] Sustituimos en la ecuación mecánica: \[ J \ddot{\theta}(t) + b \dot{\theta}(t) = K_t \frac{u(t) - K_e \dot{\theta}(t)}{R} \] \[ J \ddot{\theta}(t) + b \dot{\theta}(t) = \frac{K_t}{R} u(t) - \frac{K_t K_e}{R}\dot{\theta}(t) \] Agrupando términos: \[ J \ddot{\theta}(t) + \left(b + \frac{K_t K_e}{R}\right)\dot{\theta}(t) = \frac{K_t}{R} u(t) \] Aplicamos transformada de Laplace (condiciones iniciales cero): \[ J s^2 \Theta(s) + \left(b + \frac{K_t K_e}{R}\right)s \Theta(s) = \frac{K_t}{R} U(s) \] \[ \Rightarrow \frac{\Theta(s)}{U(s)} = \frac{\dfrac{K_t}{R}} {J s^2 + \left(b + \dfrac{K_t K_e}{R}\right)s} \]
Conclusión: el servomotor se comporta como un sistema de segundo orden en posición.
3. Generadores (alternadores trifásicos)
Un generador trifásico convierte energía mecánica en energía eléctrica mediante inducción electromagnética. El rotor crea un campo magnético que corta las bobinas del estator y produce tensiones trifásicas sinusoidales.
Relaciones básicas
Ley de Faraday: \[ e(t) = -N \frac{d\Phi(t)}{dt} \] Flujo sinusoidal: \[ \Phi(t) = \Phi_{\max}\,\sin(\omega t) \] Expresión práctica rms: \[ E_{\text{rms}} \approx 4.44\,f\,N\,\Phi_{\max} \]
Partiendo de \(\Phi(t) = \Phi_{\max} \sin(\omega t)\), obtén la expresión de \(e(t)\) y su valor eficaz \(\displaystyle E_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T e^2(t)\,dt}\).
1) Derivamos el flujo: \[ e(t) = -N \frac{d\Phi}{dt} = -N \Phi_{\max} \omega \cos(\omega t) \] En magnitud: \[ e(t) = N \Phi_{\max} \omega \cos(\omega t) \]
2) Calculamos el valor eficaz: \[ E_{\text{rms}}^2 = \frac{1}{T}\int_0^T e^2(t)\,dt = \frac{N^2 \Phi_{\max}^2 \omega^2}{T} \int_0^T \cos^2(\omega t)\,dt \] Sabemos que: \[ \frac{1}{T}\int_0^T \cos^2(\omega t)\,dt = \frac{1}{2} \] Por lo tanto: \[ E_{\text{rms}}^2 = N^2 \Phi_{\max}^2 \omega^2 \cdot \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad E_{\text{rms}} = \frac{N \Phi_{\max} \omega}{\sqrt{2}} \] Usando \(\omega = 2\pi f\) se llega a la forma práctica: \[ E_{\text{rms}} \approx 4.44\,f\,N\,\Phi_{\max} \]
4. Variadores de velocidad (VSD o VFD)
Un variador de velocidad es un convertidor electrónico que modula la frecuencia y el voltaje aplicados a un motor de inducción para controlar su velocidad y su par. Típicamente realiza un proceso CA–CD–CA mediante electrónica de potencia.
Modelo mecánico del conjunto motor–carga
Dinámica básica: \[ J \frac{d\omega}{dt} + B \omega = T_e \] donde \(J\) es el momento de inercia, \(B\) el coeficiente de fricción viscosa y \(T_e\) el par electromagnético controlado por el variador.
Considera: \[ J \frac{d\omega}{dt} + B \omega = T_0 \] con \(T_0\) constante aplicado en \(t=0\) y \(\omega(0)=0\). Obtén \(\omega(t)\).
Reescribimos: \[ \frac{d\omega}{dt} + \frac{B}{J}\omega = \frac{T_0}{J} \] Definimos la constante de tiempo mecánica \(\displaystyle \tau = \frac{J}{B}\) y la velocidad en estado estable \(\displaystyle \omega_{\text{ss}} = \frac{T_0}{B}\).
La ecuación queda: \[ \frac{d\omega}{dt} + \frac{1}{\tau}\omega = \frac{\omega_{\text{ss}}}{\tau} \] La solución para condición inicial \(\omega(0)=0\) es: \[ \omega(t) = \omega_{\text{ss}} \left(1 - e^{-t/\tau}\right) \]
Conclusión: la velocidad del motor crece exponencialmente desde 0 hasta \(\omega_{\text{ss}} = T_0/B\), controlada por el variador.
II. Sistemas trifásicos: identificar, modelar y analizar
El objetivo de esta unidad es que el estudiante sea capaz de identificar, modelar y analizar sistemas trifásicos balanceados y desbalanceados, en configuraciones estrella (Y) y delta (Δ).
A) Ejercicios para identificar sistemas trifásicos
Se tienen los voltajes de fase: \[ V_a = 120\angle 0^\circ\ \text{V},\quad V_b = 120\angle -120^\circ\ \text{V},\quad V_c = 120\angle 120^\circ\ \text{V} \] Determina si el sistema está balanceado.
Las tres tensiones tienen la misma magnitud (120 V) y están separadas por \(\,120^\circ\). Por definición, es un sistema trifásico balanceado con secuencia positiva ABC.
Se tienen: \[ V_b = 220\angle 0^\circ,\quad V_c = 220\angle 120^\circ,\quad V_a = 220\angle -120^\circ \] Determina la secuencia de fases.
Reescribimos \(V_a = 220\angle -120^\circ \equiv 220\angle 240^\circ\). El orden de avance de fase es: \[ V_b (0^\circ) \rightarrow V_c (120^\circ) \rightarrow V_a (240^\circ) \] Esto corresponde a una secuencia negativa, equivalente a ACB.
En un diagrama se observa que tres impedancias tienen un extremo común y el otro extremo de cada una va a una fase diferente. ¿De qué tipo es la conexión?
Tres impedancias con un punto común definen una conexión estrella (Y).
Un sistema trifásico tiene cargas conectadas en Y y un conductor adicional que va al neutro. ¿Es un sistema de 3 hilos o 4 hilos? ¿Qué implica?
Es un sistema trifásico de 4 hilos (tres fases + neutro). Permite que circule corriente de neutro en caso de desbalance de las cargas.
B) Ejercicios para modelar sistemas trifásicos
Un generador trifásico de \(V_{LL}=480\ \text{V}\) tiene secuencia ABC y conexión en Y. Obtén los voltajes de fase y sus fasores.
Voltaje de fase: \[ V_f = \frac{V_{LL}}{\sqrt{3}} = \frac{480}{\sqrt{3}} \approx 277.1\ \text{V} \] Fasores: \[ V_{AN} = 277.1\angle 0^\circ\ \text{V},\quad V_{BN} = 277.1\angle -120^\circ\ \text{V},\quad V_{CN} = 277.1\angle 120^\circ\ \text{V} \] Esto modela un generador trifásico balanceado en estrella.
Una carga trifásica tiene impedancias en delta: \[ Z_{AB} = Z_{BC} = Z_{CA} = 15 + j10\ \Omega \] Obtén la impedancia equivalente por fase si se representa en Y.
Para una carga balanceada: \[ Z_Y = \frac{Z_\Delta}{3} = \frac{15 + j10}{3} \approx 5 + j3.33\ \Omega \] Por lo tanto, \(Z_A = Z_B = Z_C \approx 5 + j3.33\ \Omega\).
Se tiene una carga en Y con: \[ Z_a = 10\angle 0^\circ,\quad Z_b = 8\angle 30^\circ,\quad Z_c = 12\angle -20^\circ \] y un generador trifásico balanceado. Escribe el modelo para obtener el voltaje del neutro flotante y las corrientes de fase.
El voltaje del neutro flotante (respecto al neutro del generador) es: \[ V_n = \frac{V_a/Z_a + V_b/Z_b + V_c/Z_c} {1/Z_a + 1/Z_b + 1/Z_c} \] y los voltajes de fase efectivos son: \[ V_{aN'} = V_a - V_n,\quad V_{bN'} = V_b - V_n,\quad V_{cN'} = V_c - V_n \] Finalmente: \[ I_a = \frac{V_{aN'}}{Z_a},\quad I_b = \frac{V_{bN'}}{Z_b},\quad I_c = \frac{V_{cN'}}{Z_c} \] Como \(Z_a\), \(Z_b\) y \(Z_c\) son distintas, el sistema es desbalanceado.
Dadas las tensiones: \[ V_a = 220\angle 10^\circ,\quad V_b = 200\angle -110^\circ,\quad V_c = 215\angle 130^\circ \] descompón el sistema en componentes de secuencia cero, positiva y negativa usando: \[ \begin{bmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{bmatrix}, \quad a = e^{j120^\circ} \]
El cálculo numérico (mostrado en clase) conduce aproximadamente a: \[ V_0 \approx 6.0\angle 56.1^\circ\ \text{V} \] \[ V_1 \approx 211.7\angle 10^\circ\ \text{V} \] \[ V_2 \approx 6.0\angle -36.1^\circ\ \text{V} \] Por lo tanto, el sistema está dominado por la secuencia positiva.
C) Ejercicios para analizar sistemas trifásicos
Para una carga en Y: \[ Z = 12 + j9\ \Omega,\quad V_{LL} = 480\ \text{V} \] calcula \(I\), \(P\), \(Q\) y \(S\).
Voltaje de fase: \[ V_f = \frac{480}{\sqrt{3}} \approx 277.1\ \text{V} \] Impedancia: \[ |Z| = 15\ \Omega,\quad \phi = \tan^{-1}(9/12) \approx 36.87^\circ \] Corriente: \[ I = \frac{V_f}{Z} \approx \frac{277.1}{15} \approx 18.48\ \text{A} \] Potencias totales: \[ P = 3 V_f I \cos\phi \approx 12.3\ \text{kW} \] \[ Q = 3 V_f I \sin\phi \approx 9.22\ \text{kvar} \] \[ S = 3 V_f I \approx 15.36\ \text{kVA} \] con factor de potencia \(\cos\phi \approx 0.8\) atrasado.
Carga: \[ Z_a = 10\ \Omega,\quad Z_b = 20\ \Omega,\quad Z_c = 30\ \Omega \] y tensiones de fase balanceadas de 120 V. Determina el voltaje del neutro flotante y las corrientes.
El voltaje de neutro resulta aproximadamente: \[ V_n \approx 39.33\angle -13.9^\circ\ \text{V} \] Voltajes de fase en la carga: \[ V_{aN'} \approx 82.36\angle 6.6^\circ\ \text{V} \] \[ V_{bN'} \approx 136.25\angle -136.1^\circ\ \text{V} \] \[ V_{cN'} \approx 149.98\angle 130.9^\circ\ \text{V} \] Corrientes: \[ I_a \approx 8.24\angle 6.6^\circ\ \text{A} \] \[ I_b \approx 6.81\angle -136.1^\circ\ \text{A} \] \[ I_c \approx 5.00\angle 130.9^\circ\ \text{A} \] Se verifica que \(I_a + I_b + I_c \approx 0\), ya que el neutro está aislado.
Para una línea con: \[ Z_1 = j0.2,\quad Z_2 = j0.2,\quad Z_0 = j0.5\ \Omega \] y \(V_{LL}=13.8\ \text{kV}\), calcula la corriente de falla monofásica a tierra.
Voltaje de fase en prefalla: \[ V_{\text{fase}} = \frac{13.8\times 10^3}{\sqrt{3}} \approx 7.97\ \text{kV} \] Impedancia equivalente: \[ Z_{\text{eq}} = Z_1 + Z_2 + Z_0 = j0.9\ \Omega \] Corriente de falla: \[ I_f = \frac{3 V_{\text{fase}}}{Z_{\text{eq}}} \approx \frac{3\times 7{,}970}{j0.9} \approx 26.6\ \text{kA}\angle -90^\circ \] Es una falla de alta severidad.
Carga: \[ Z_a = 10 + j2,\quad Z_b = 12 + j3,\quad Z_c = 9 + j1\ \Omega \] con \(V_{LL}=208\ \text{V}\). Calcula la potencia total.
Se obtiene \(V_f \approx 120.1\ \text{V}\) y corrientes: \[ I_a \approx 11.55 - j2.31\ \text{A},\quad I_b \approx -6.75 - j6.98\ \text{A},\quad I_c \approx -5.32 + j12.15\ \text{A} \] Potencias: \[ P_{\text{total}} \approx 4.10\ \text{kW},\quad Q_{\text{total}} \approx 0.74\ \text{kvar},\quad |S| \approx 4.17\ \text{kVA} \] con factor de potencia global \(\text{FP} \approx 0.984\) atrasado.
Línea: \(Z_{\text{línea}} = 0.3 + j0.5\ \Omega\) por fase, carga \(Z_L = 20 + j15\ \Omega\) en Y, voltaje de envío \(V_{LL,s}=480\ \text{V}\). Calcula la caída de tensión.
Impedancia total por fase: \[ Z_{\text{tot}} = 20.3 + j15.5\ \Omega \] Voltaje de fase en envío: \[ V_{f,s} \approx 277.1\ \text{V} \] Corriente: \[ |I| \approx 10.85\ \text{A} \] Voltaje en recepción por fase: \[ |V_{f,r}| \approx 271.25\ \text{V} \] Voltaje línea–línea en recepción: \[ V_{LL,r} \approx 469.8\ \text{V} \] Caída: \[ \Delta V \approx 10.2\ \text{V} \Rightarrow \% \text{caída} \approx 2.12\% \] Dentro del criterio típico de ±5 %, por lo que la línea es aceptable.
III. ¿Cuándo usar cada tipo de conexión trifásica?
Las conexiones trifásicas en transformadores y sistemas de potencia se utilizan según el nivel de tensión, el tipo de carga, la necesidad de neutro y el manejo de armónicas y secuencias de fase.
1. Conexión Δ–Δ (delta–delta)
Se usa cuando se requiere buena capacidad de carga, alta corriente de línea y cierta continuidad de servicio (la conexión puede operar en “V” ante la pérdida de una fase). Además, las corrientes de secuencia cero no se propagan hacia la red.
2. Conexión Y–Y (estrella–estrella)
Útil cuando se requiere neutro disponible en ambos lados y los sistemas están razonablemente balanceados. Cada devanado ve menor tensión, lo que reduce exigencias de aislamiento.
3. Conexión Δ–Y (delta–estrella)
Es la conexión más usada en distribución: el lado delta suele estar en media/alta tensión y el lado estrella entrega tensiones con neutro disponible. El delta ayuda a confinar corrientes de armónicas de orden triplen.
4. Conexión Y–Δ (estrella–delta)
Se utiliza cuando el sistema de entrada está en alta tensión y se desea reducir la tensión en los devanados primarios, mientras que el secundario en delta entrega corrientes altas sin neutro. Es común en transformadores elevadores y aplicaciones de motores.
IV. Conexiones trifásicas y forma de conectar los devanados
Las conexiones trifásicas no son un “tipo de componente”, sino la forma de interconectar los devanados (bobinas) de cada fase. Un devanado siempre presenta una impedancia: \[ Z = R + jX = R + j(\omega L - 1/\omega C) \] donde aparecen resistencia, inductancia y posibles capacitancias parásitas.
1. Imágenes de conexión estrella y delta
Conexión estrella (Y)
Conexión delta (Δ)
2. Tabla comparativa
| Conexión | R (resistencia) | L (inductancia) | C (capacitancia) | Z total | Acoplamiento magnético | Notas clave |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Δ–Δ | ✔️ | ✔️ | Parásita | ✔️ | ✔️ | Bloquea secuencia cero, adecuada para grandes cargas y motores. |
| Y–Y | ✔️ | ✔️ | Parásita | ✔️ | ✔️ | Permite neutro en ambos lados; sensible a desbalances si no hay neutro. |
| Δ–Y | ✔️ | ✔️ | Parásita | ✔️ | ✔️ | Muy usada en distribución; el delta filtra armónicas y el lado Y entrega neutro. |
| Y–Δ | ✔️ | ✔️ | Parásita | ✔️ | ✔️ | Primario en alta tensión con menor esfuerzos de aislamiento; secundario de alta corriente. |
Nota: en todos los casos, los devanados tienen R, L y C parásita; lo que cambia es cómo se conectan sus terminales y cómo se acoplan magnéticamente.
V. ¿Qué es un devanado?
Un devanado es una bobina de alambre con dos terminales (inicio y fin) enrollada sobre un núcleo. Es el elemento básico de transformadores, motores, generadores y reactores. Al circular corriente produce un campo magnético y, si el flujo magnético cambia, puede inducir una tensión.
V.I) Dibujo ASCII de un devanado
Para un sistema trifásico, hay tres devanados, uno por fase:
V.II) Cómo se conectan los devanados
Conexión estrella (Y)
Se unen los finales (o inicios) en un punto común (neutro):
Conexión delta (Δ)
Se conectan los devanados en triángulo, un extremo de cada uno al inicio del siguiente:
V.III) Diagrama conceptual en un transformador trifásico
Conceptualmente, un transformador trifásico puede verse así:
El acoplamiento magnético a través del núcleo permite transferir energía entre primario y secundario. Las conexiones Y o Δ se realizan uniendo los terminales A1, A2, B1, B2, C1, C2 (y sus equivalentes en el secundario).
V.IV) Analogía
Imagina tres mangueras de agua enrolladas. Cada manguera tiene una entrada y una salida.
- Conexión estrella (Y): juntas las salidas de las tres mangueras en un solo punto (neutro) y desde las entradas alimentas cada fase.
- Conexión delta (Δ): conectas la salida de una manguera con la entrada de la siguiente, formando un triángulo cerrado.
Los componentes internos (las mangueras o devanados) siguen siendo los mismos. Lo que cambia es la forma en que se unen sus extremos, lo cual determina cómo se comporta el sistema trifásico visto desde el exterior.